In diesem Artikel wird der Versuch unternommen eine der wichtigsten Gleichungen der modernen Wissenschaft, namentlich die Schrödingergleichung, in einer vereinfachten Form, nämlich der Reduktion auf den eindimensionalen und zeitunabhängigen Fall, näher zu bringen und zu lösen. Im folgenden Text wird keine Ableitung oder weiterführende Erklärung zur genannten Gleichung geboten sondern schlicht und einfach die Lösung der von Schrödinger postulierten Gleichung behandelt. Für den genannten Fall handelt es sich dabei mathematisch um eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Sie lautet allgemein:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_12846728134f869f484ac52.png)
Dabei ist Ψ(x) die sog. Wellenfunktion, V(x) das Potential, E die Energie des Teilchens und h-quer das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Für die weitere Behandlung wird angenommen, dass auf das Teilchen (z.B. das Elektron) keine Kraft wirkt und das Potential V daher gleich Null ist. Das nun behandelte Problem ist auch als "Teilchen im Kasten" oder "unendlicher Potentialtopf" bekannt - also ein eindimensionales System in dem sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und an den Wänden reflektiert wird. Konkreter soll bei unserem Kasten der Länge L folgendes für das Potential gelten:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_3707777014f86a0ee45bfa.png)
Mit dieser Annahme reduziert sich unsere Gleichung zu folgender gewöhnlicher linear homogener Differentialgleichung 2. Ordnung:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_7735146594f86a13d1308e.png)
Es gelten dabei nachstehende Randbedingungen: Ψ(0) = 0 und Ψ(L) = 0. Nach der bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation ist das Betragsquadrat von Ψ(x), also |Ψ|2, die Dichtefunktion für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Da das Teilchen den 1D-Kasten der Länge L nicht verlassen darf gilt stets die Normierungsbedingung:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_14304698744f86a2392d08f.png)
Zur Lösung der Differentialgleichung wird nun nach folgenden Algorithmus vorgegangen. Zuerst wird die sog. charakteristische Gleichung aufgestellt
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_7890652214f86a429e2e23.png)
woraus (ohne Beweis) unter weiterer Annahme, dass der Energieterm stets größer Null ist die allgemeine Lösung für Ψ(x) folgt:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_14164693284f86a5c50b8b3.png)
Unter Zuhilfenahme der Eulerschen Identität exp(ix) = cos(x) + i sin(x) kann diese allgemeine Lösung auch so formuliert werden, wobei A und B noch zu bestimmende Konstanten sind:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_19638325844f86a6c59c8b8.png)
Mit Hilfe der oben stehenden Randbedingungen Ψ(0) = 0 und Ψ(L) = 0 sowie der Normierungsbedingung können A und B nun aufgesucht werden. Wegen Ψ(0) = 0 folgt sofort A = 0 da cos(0) = 1 ist und B ist ungleich Null. Die zweite Bedingung fordert, dass die Wellenfunktion an der Stelle x = L den Wert 0 annimmt; die Sinusfunktion wird unter dieser Bedingung nur null wenn B gleich Null wäre oder der Wurzelausdruck ein vielfaches von π (3,1415…) betröge.
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_6240543604f86a7cc31da8.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_15091385534f86a7dae125d.png)
Mit diesem Wissen gelangen wird zu einer vorläufigen Lösung der Differentialgleichung (B ist weiterhin unbekannt):
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_11963471514f86aa645f12d.png)
Mit Hilfe der Normierungsbedingung kann jetzt B berechnet werden, es gilt:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_16898780584f86aae1e1b7d.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_5481110074f86aaf41d28e.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_10731745004f86aaff31674.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_18508105244f86ab0abddb4.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_13067996994f86ab1743be6.png)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_3334952354f86ab2243a71.png)
Woraus sofort das Aussehen des konstanten Faktors B abgelesen werden kann:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_12831262264f86ab2c72b02.png)
Die Lösung der eingangs gezeigten Differentialgleichung unter den gegeben Bedingungen lautet daher:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_7203059244f86ac31817e4.png)
Erkenntnis:
Eine wichtige Erkenntnis die aus dem Lösungsprozess (der auf den eindimensionalen zeitunabhängigen Fall reduzierten Schrödingergleichung) gewonnen wurde (und mit welcher der Leser eines jeden Buches zur Allgemeinen Chemie von Anfang an konfrontiert wird) ist diejenige, dass der Energieterm E nur diskrete Werte annehmen kann (mit n>0):
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_8422539694f86ad09a8def.png)
Graphische Veranschaulichung von Ψ(x) und |Ψ(x)|2:
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_12023928244f86ada4e3eb5.png)
Für n=1 (|Ψ(x)|2 rot)
![Bild](https://illumina-chemie.org/upload/78_17446524194f86add79689d.png)
Für n=2