SIR Modell

Hier kann wirklich alles besprochen werden.

Moderator: Moderatoren

Antworten
Benutzeravatar
frankie
Illum.-Ass.
Beiträge: 1927
Registriert: Dienstag 10. April 2007, 17:00
Wohnort: Res Publica Austria

SIR Modell

Beitrag von frankie »

SIR Modell

Aus gegebenem Anlass und einem leichten Überfluss an Freizeit habe ich mich entschieden das SIR Modell der Epidemiologie zu beschreiben. Ich nehme an, dass viele damit bereits vertraut sind - für alle anderen hier ein kurzer Abriss.

Das Modell beruht auf der Wechselwirkung drei verschiedener Gruppen in einer Bevölkerung der Stärke N (z.B N = 8,82 Millionen in Österreich). Es sind dies: Die Suszeptiblen für die Krankheit (S), die Infizierten (I) und die Ausgeschiedenen oder Toten (R). Jedes Mitglied der Gesellschaft nimmt daher zwangsläufig in diesem Modell einen der drei "Zustände" ein. Natürlich handelt es sich dabei um ein stark simplifiziertes Modell eines dynamischen Prozesses, jedoch sind die qualitativen Aussagen durchaus auf die Realität anzuwenden.

Bild

In diesem Modell gibt es zwei Parameter die die Epidemie vollständig beschreiben. Dies ist der Paramter alpha, der die Infektionswahrscheinlichkeit beschreibt und die Kontakwahrscheinlichkeit sowie Virulenz beinhaltet, sowie der Paramter beta, der den Kehrwert der mittleren "Gesundungszeit" darstellt. Ich möchte an der Stelle gleich erwähnen, dass sich die Bezeichnungen und auch die folgenden Gleichungen in der Literatur leicht unterscheiden können. Für die qualtitative Diskussion spielt das allerdings keine Rolle.

Zur Modellierung beschreibt man die dynamischen Änderungen in den Gruppen S, I und R mittels einfacher Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Erste Gleichung beschreit die Abnahme [Individuen / Zeit] der (für die Krankheit) Suszeptiblen Personen. Diese Zahl ist Abhängig von der Zahl S selbst und der Zahl der Infizierten. Anders ausgedrückt könnte man diese Rate auch als f(I)*S(t) notieren und behaupten, dass die Proportionalitätskonstante direkt von I abhängt: Je mehr Personen infiziert sind desto schneller sinkt S. Ähnliche Ideen zur Modellierung kommen auch beim logistischen Wachstum in der Biologie zum Einsatz.
Die zweite Gleichung (dI/dt) beschreibt die Veränderung der Zahl der Infizierten: Sie ergibt sich aus dem Betrag dS/dt von oben abzüglich der Zahl der wieder Gesundeten (oder Toten). Die letzte Gleichung beschreibt den Zuwachs der Gesunden und ist mathematisch gesehen eigentlich redundant da ja S + I + R = N bzw. damit R(t) = N - S(t) - I(t).

\(- \ \frac{dS(t)}{dt} = \alpha \ \cdot \ S(t) \ \cdot \ I(t) \)

\(\frac{dI(t)}{dt} = \ \alpha \ \cdot \ S(t) \ \cdot \ I(t) - \ \beta \ \cdot \ I(t)\)

\(\frac{dR(t)}{dt} = \ \beta \ \cdot \ I(t) \)

Nimmt man an, dass die Population konstant (= N) ist so gilt natürlich:

\(\frac{dS}{dt} \ + \ \frac{dI}{dt} \ + \ \frac{dR}{dt} \ = \ \frac{dN}{dt} \ = \ 0 \)

Man kann sich durch einsetzen der Ausdrücke von oben selbst davon überzeugen, dass die Gleichungen konsistent sind.

Was kann man damit jetzt anstellen

Man kan zunächst versuchen aus diesem Modell Schlüsse zu ziehen ohne großartig zu Rechnen. Betrachtet man Gleichung 2 so kann man die Frage stellen, wann eine Epidemie erfolgreich ist und eine Krankheit sich ausbreitet. In dem Fall muss gelten Rate dI / dt > 0:

\(\frac{dI}{dt} = \ I \ \cdot (\ \alpha \ \cdot \ S(t) \ - \ \beta \ ) > 0 \)

Für alle t ~ 0 (also am Anfang) und >0 und wenn I nicht Null muss daher folgendes gelten. Das Verhältnis beta zu alpha wird meist als Schwellenparamter bezeichnet und muss hinreichend groß sein.

\( ( \alpha \ \cdot \ S(t) \ - \ \beta \ ) \ > \ 0 \) bzw. \( S \ > \ \frac{\beta}{\alpha}\)

Wie löst man das jetzt?

So ein System von DGL erster Ordnung ist analytisch, also "mathematisch geschlossen" nicht einfach zu lösen. Genauso wie z.B. bei quantenchemischen Rechenmethoden bedient man sich numerischer Methoden und bekommt die Ergebnisse in Form von Tabellen und Graphen. Ich habe das obige System mit Hilfe der odeint Subroutine in python gelöst mit den Paramtern

N = 1000
S(0) = N = 1000
I(0) = 1
alpha = 0.30 (... einfach geraten...)
beta = 1/10 (Erinnerung, 10 Tage Rekonvaleszenz-Zeit)

Bild

Dieses DGL-System beschreibt ein "freies Spiel der Kräft" in der Population ohne "Gegenmaßnahmen" wie Ausgangssperren, Isolation oder Impfungen. Genauso wenig wird Migration oder natürliches Ableben beschrieben. Auch die Tatsache, dass ein wieder Genesener erneut krank werden kann, also S->I->R->S wird nicht beachtet. Trotzdem eignet sich das Modell zur qualitativen Beschreibung von Epidemien und auch quantitativ in sehr kleinem Rahmen (z.b. Grippe im Internat).

Der anfängliche Verlauf in diesem Modell ist tatsächlich exponentiell, also I(t) = A * exp(k0*t). Wenn man diesen Ansatz in Gleichung 2 von oben einsetzt, ergibt sich folgendes:

\(I(t) = A \ \cdot \ e^{k_{0} \ t}\)

\(\frac{I(t)}{dt} = \ A \ \cdot \ k_{0} \cdot \ e^{k_{0} \ t} \ = \ \alpha \ \cdot \ S(t) \ \cdot \ I(t) - \ \beta \ \cdot \ I(t) \)

und damit für den Anfang der Epidemie:

\(k_{0} \ = \ \alpha \ \cdot \ S_{0} \ - \ \beta \ \)

Damit lassen sich die Paramter zu Beginn einer Epidemie abschätzen. Für so komplexe Vorgänge wie derzeit mit SARS-CoV-2 ist dieses Modell wohl zu trivial...


... meine drei Groschen zu dem Thema heute :mrgreen:
It is always better to have no ideas than false ones; to believe nothing, than to believe what is wrong.
(Thomas Jefferson)

Glaskocher
Illumina-Mitglied
Beiträge: 1040
Registriert: Dienstag 27. Oktober 2015, 22:17
Wohnort: Leverkusen

Beitrag von Glaskocher »

Das ist eine interessante Berechnung. Sie erzeugt eine ähnliche Kinetik, wie sie auch in folgendem Artikel (Szenario 1) erzeugt wird.

Jetzt müßte man darin eine horizontale Linie einziehen, die die Behandlungskapazität darstellt. Sie wird bei diesem Szenario sehr schnell überschritten und man möchte lieber nicht der sein, der sich oberhalb dieser Kapazitäten befindet.

Antworten