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Frage zu Stochastik
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Ich hab da mal eine Frage... Wink

Bei den gängigen Würfelproblemen geht es immer darum, eine bestimmte Zahlenfolge genau oder nicht zu treffen.
Allerdings stellte sich mir dann folgende Frage, zu der ich im Netz nichts fand:
Annahme: normaler Würfel mit Augen von 1-6
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl X bei n Würfen genau einmal zu treffen? (oder Zahl X bei n Würfen mindestens einmal zu treffen)
Bei n=1 ist es klar, die Wahrscheinlichkeit X zu würfeln beträgt 1/6.
Bei n=2 dachte ich zuerst die Wahrscheinlichkeiten verhalten sich additiv, also 2/6. Dies kann aber nicht sein, da dann beim 7. Wurf die Wahrscheinlichkeit größer als 1 wäre, was per Definition nicht sein kann.

Welche Annahmen muss man treffen um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, und welche Formel ergibt sich daraus?
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Re: Frage zu Stochastik
Pok
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Das ist im sog. "Urnenmodell" das "Ziehen mit Zurücklegen". Hier kann mans berechnen lassen. Die Formel wäre


n = Anzahl der Würfe
p = Eintrittswahrscheinlichkeit (beim Würfel für jede Zahl 1/6)
q = 1-p
a = untere Grenze (Mindestanzahl an Würfen mit einer bestimmten Zahl)
b = obere Grenze (max. Anzahl an Würfen mit dieser Zahl)

Im Falle von 2 Würfen, von denen du die 6 genau 1x treffen willst, ist n = 2, und a = b = 1
Ergebnis: 1:3,6 = ca. 28 %

Zur Herleitung der Formel mal googeln nach Permutationen, Kombinationen, binomischer Lehrsatz...da müsste dann alles stehen.
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Ich war nie ein großer Freund der Wahrscheinlichkeitstheorie....

Annahme: Perfekter Würfel, jede Augenzahl (= Elementarereignis) ist gleich wahrscheinlich.

Es gilt daher stets P(X = 1,2,...,6) = 1/6.


Für die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte (!) Zahl X nach n mal-igem würflen zu bekommen ist daher

P(n=1) = (5/6)0 * (1/6) = 16,7 %

P(n=2) = (5/6)1 * (1/6) = 13,9 %

P(n=3) = (5/6)2 * (1/6) = 11,6 %

(5/6) ist die Gegenwahrscheinlichkeit für X (also 1 - 1/6).
Merkregel: Entlang eines Pfades wird multipliziert (nicht addiert).

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Pok
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frankie: das ist doch aber "Ziehen ohne Zurücklegen", oder nicht?
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Also dazu musst du im Grunde nur ein Baumdiagramm skizzieren. Die Chancen sind ja alle gleich, also kriegt man für jeden der 6n Zweige die Wahrscheinlichkeit p = 1/6n.

Dann muss man sich überlegen, wie viele erfolgreiche Möglichkeiten es gibt. Sehen wir uns erstmal den Fall n = 2 an:

Entweder würfele ich erst die richtige Zahl X und dann eine der anderen, oder ich würfle erst eine falsche Zahl und dann die richtige Zahl X. Dafür gibt es also 2*5 Möglichkeiten, nämlich wenn z.B. x die Zahl sechs ist:

1;6
2;6
3;6
4;6
5;6

6;1
6;2
6;3
6;4
6;5

Und bei drei Würfen läuft das analog. Die Zahl X kann dann beim ersten, beim zweiten oder beim dritten wurf gewürfelt werden und für die anderen Zahlen gibt es eweils 25 Realisierungsmöglichkeiten.

Man erhält also insgesammt die Wahrscheinlichkeit



Das ist natürlich das gleiche Ergebnis wie das, was "mathematik.ch" berechnet, aber aus dem noch weniger einsichtigen, allgemeinen Fall die Formel zu gewinnen, finde ich nicht so anschaulich, wie sich das einfach über einen Baum klar zu machen.

@frankie: Deines ist die Chance, genau am Ende eine X zu würfeln und nicht öfter als 2 mal eine Zahl x zu würfeln.

Zitat:

frankie: das ist doch aber "Ziehen ohne Zurücklegen", oder nicht?

Nein, ist es nicht. Man muss die Chancen nur mit n multiplizieren und schon bekommt man die korrekte Wahrscheinlichkeit. Wink

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@Xyrofl:

Timmopheus hat Folgendes geschrieben:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl X bei n Würfen genau einmal zu treffen? (oder Zahl X bei n Würfen mindestens einmal zu treffen)


Das sind dann aber zwei verschiedene Fragestellungen. Und meine Antwort ist bzgl. der ersten Frage korrekt. Nirgendwo steht, dass die gleiche Zahl X mindestens oder genau n mal gewürfelt werden soll.

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Zitat:
Und meine Antwort ist bzgl. der ersten Frage korrekt.


Nein, die Frage ist, ob genau einmal eine Zahl X gewürfelt wird, das berechnest du aber nicht. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass (n-1) mal keine Zahl X gewürfelt wird und dann am Ende die Zahl X, das wird natürlich immer unwahrscheinlicher, je öfter du würfelst.

Das ist aber nicht gefragt. Die Chance, genau einmal die Zahl X zu würfeln (aber nicht notwendigerweise am Ende) steigt aber zunächst und fällt dann erst für n > 6.

Da man die Reihenfolge nicht beachtet, kann man das Ereignis, dass eine X gewürfelt wurde genau n mal durchpermutieren und somit muss die Chance genau das n-fache von dem betragen, was du geschrieben hast.

Daher kommt das multiplizieren mit n, nicht weil man iwie n-mal eine Zahl X haben will.

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