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Ausdehnungs- und Kompressibilitätskoeffizient
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Liebes Forum,

ich fürchte, dass ich in nächster Zeit öfter Fragen zur physikalischen Chemie werde stellen müssen Mr. Green

Im Moment betrachte ich das totale Differential der allgemeinen Gasgleichung:
dV = (δV/δT) * dT + (δV/δp) * dp

Nun beschreibt das erste partielle Differential die Änderung des Volumens in Abhängigkeit von der Temperatur, das zweite die Änderung des Volumens in Abhängigkeit vom Druck. Daraus abgeleitet werden folgende Koeffizienten definiert:
Ausdehnungskoeffizient α = 1/V * (δV/δT)
Kompressibilitätskoeffizient β = -1/V * (δV/δp)

Prinzipiell ganz logisch, nur stellen sich mir drei Fragen:

1) Warum werden die beiden Koeffizienten durch das Volumen geteilt? Eventuell um die Einheiten zu kürzen?
Ohne Division wäre α = n*R/p = [J/(K*Pa)]
Mit Division durch V ist α = 1/T = [1/K]

Im Atkins steht folgendes Rechenbeispiel:
Berechnen Sie die Volumenänderung eines Kupferblocks, V = 50 cm3, beim Erwärmen um 5,0 K. Gegeben ist α (Kupfer) = 5,01 * 10-5 K-1.

Zur Berechnung verwende ich den ersten Teil des totalen Differentials, wobei ich α ja wieder mit V multiplizieren muss um wieder zum partiellen Differential zu gelangen, richtig?
dV = (δV/δT) * dT = (α * V) * dT = 5,01 * 10-5 * 50 * 5 = 12,5 mm3
Dies liefert zumindest das richtige Ergebnis.

Hätte man sich geeinigt α ohne Division durch V anzugeben, d.h. direkt als partielles Differential (n*R/p), müsste man die "vorgelegte Menge" an Kupfer mit der Stoffmenge angeben? Nur was hätte der Druck in dieser Gleichung zu suchen?

2) Ist Sinn dieser Rechnerei also eine Möglichkeit zu finden eben diese beiden Stoffeigenschaften α und β anzugeben?

3) Sehe ich richtig, dass beispielsweise die Berechnung der Volumenänderung mittels totalen Differentials, welches mir ja nur eine Tangentialebene an einen Punkt V(T, p) legt, nur eine Näherung ist und für größere dT bzw. dp ungenau wird?
Wie könnte ich mir dann beispielsweise dV für dT = 100 °K oder mehr ausrechnen?

Das Semester hat erst begonnen ^^

Danke!
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Illum.-Ass.

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Thermodynamik ist schon etwas länger her bei mir, aber gut ...


1) Auf die Weise kannst du aus einer extensiven Größe eine intensive (von der Größe des Systems unabhängige) Größe formulieren.

Was du bei deiner Rechnung eigentlich tun hättest müssen ist integrieren über dT! Das sind Differentialgleichungen, da kann man nicht einfach einsetzen. Aber es macht hier glücklicherweise keinen Unterschied...

2) Die Rechnerei ist Vorbereitung auf deine PC1-Prüfung. Viel Spass!

3) Genauso! Im allgemeinen Fall verwendet man ein Kurvenintegral.

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Danke für deine Antwort!

ad 1) Okay macht Sinn.
Nur warum sollte man integrieren? Wenn ich mich mit der Volumenänderung zufrieden gebe dürfte ich doch theoretisch einfach einsetzen?
Oder habe ich hier einen schweren Denkfehler?

ad 2) Ich denke nicht, dass es nur eine Übung für die Prüfung ist, schließlich findet man zahlreiche Werte für Ausdehnungskoeffizienten ^^
Ich frage anders: Ist dies eine gängige und in der Praxis gut einsetzbare "Methode" (Genauigkeit??) die Ausdehnungseigenschaften eines Stoffes zu beschreiben?

Danke!
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Ad 1)

Du wirst noch sehen, dass fast alles aus einer Differentialform mittels Kurvenintegral abgeleitet werden kann Wink Meistens macht man es aber mathematisch nicht ganz korrekt ... und das ist das was man dann in der PC-Vorlesung vorzeigt. Korrekt wäre es (skizzenhasft) so:



Dabei ist C der Pfad entlag dem die Änderung dT und dp durchgeführt wird. Wenn dp=0 fällt der rechte Term weg und kannst quasi normal integrieren.
Besonders relevant wird das Integral wenn α eine Funktion von T wäre. Ähnliches wirst du bei den kalorischen Zustandsgleichunge sehen.



Wie gesagt, Thermodynamik ist bei mir schon länger her...

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Darf ich abschließend noch fragen, ob mit C für mein Rechenbeispiel eben z.B. das Integral von 0 bis 5 gemeint ist?
Interpretiere ich also richtig wenn ich sage, dass die absolute Volumenszunahme beim Erwärmen von bspw. 50 cm3 Kupfer von 20 auf 25 °K gleich ist wie beim Erwärmen von 50 cm3 Kupfer von 300 auf 305 °K?

Danke!
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Illum.-Ass.

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Ich hab mir das grad nochmal überlegt und denke jetzt, dass die Lösung über das Kurvenintegral bestimmt richtigt, aber problematisch ist. Um Mitternacht hat man nicht immer die besten Ideen. Ein einfacherer Ansatz wäre der foglende:



Formt man um (d.h. Trennung der Variablen) und integriert



so kommt man auf



bzw auf



Mit deinen Zahlen erhält man dann:



Gleiches Ergebnis. Dein Ansatz entspräche der linearen Näherung zur obigen Formel Very Happy
Wenn du sicher gehen willst fragst du deinen Dozenten. Ich will dir nichts falsches sagen.

Zitat:
Interpretiere ich also richtig wenn ich sage, dass die absolute Volumenszunahme beim Erwärmen von bspw. 50 cm3 Kupfer von 20 auf 25 °K gleich ist wie beim Erwärmen von 50 cm3 Kupfer von 300 auf 305 °K?


Ja, formal mathematisch schon. ABER: Normalerweise wird sein und somit wird das nicht mehr stimmen.
Aja, und Kelvin bitte ohne dem ° Grad-Zeichen Wink

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Auch wenn das Thema mittlerweile einige Wochen alt ist wollte ich nur schnell schreiben, dass die Berechnung ohne Kurvenintegral laut Professor, wie du gesagt hast, mathematisch nicht ganz korrekt ist, für dieses Beispiel jedoch eine gute Näherung.

Vielen Dank für die Antworten!
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